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[[常微分方程第2版 [张伟年，杜正东，徐冰 编著] 2014年版(1).pdf]] 在实际问题中求解微分方程 ${\displaystyle \frac{dx}{dt}=f(t,x),x(t_0)=x_0}$，使用 Picard 逐步逼近法和欧拉折线法，会有精度差和收敛速度慢的缺点，于是有了改进的 Euler 方法和 Runge-Kutta 方法。 所谓的数值解，就是在一些离散的点 (称为节点) ${\displaystyle t_1<t_2<\cdots <t_n<\dots }$ 处，求得函数值 ${\displaystyle x_1,x_2,\dots ,x_n,\dots }$，其中 ${\displaystyle h_k=t_{k+1}-t_k}$ 称为步长，假设所有的步长都是 $h$，那么 ${\displaystyle t_m=t_0+mh}$. 欧拉折线法的思想就是 MVT，即 ${\displaystyle x_n=x_{n-1}+hf(t_{n-1},x_{n-1}),n=1,2,\dots }$，但是对于导数变化大的 ${\displaystyle f}$，误差就会越来越大。为了改进欧拉折线法，我们利用严格等式 ${\displaystyle x_{n+1}=x_n+{\int }_{t_n}^{t_{n+1}}f(\tau ,x(\tau ))d\tau }$，考虑梯形法，即 ${\displaystyle {\int }_{t_n}^{t_{n+1}}f(\tau ,x(\tau ))d\tau \approx \frac{h}{2}[f(t_n,x_n)+f(t_{n+1},x_{n+1})]}$. 但是这样的 ${\displaystyle x_{n+1}}$ 会是 ${\displaystyle x_n}$ 的一个隐式解，求解过程又会产生误差，于是我们不妨令 ${\displaystyle x_{n+1}=x_n+\frac{h}{2}[f(t_n,x_n)+f(t_{n+1},\overline{x_{n+1}})]}$，其中 ${\displaystyle \overline{x_{n+1}}=x_n+hf(t_n,x_n)}$ 为 Euler 折线法的解，这就是改进的 Euler 方法. 该过程也可以写作：

$$\{\begin{array}{l}{x}_p=x_n+hf(t_n,x_n),\\ x_c=x_n+hf(t_{n+1},x_p)\\ x_{n+1}=\frac{1}{2}[x_p+x_c].\end{array}$$

对于单步法 ${\displaystyle x_{n+1}=x_n+h\mathrm{\Phi }(t_n,x_n,x_{n+1},h)}$，其中显式单步法 ${\displaystyle x_{n+1}=x_n+h\mathrm{\Phi }(t_n,x_n,h)}$ 的精度为 ${\displaystyle T_{n+1}=x(t_{n+1})-x(t_n)-h\mathrm{\Phi }(t_n,x(t_n),h)}$ 称为显式单步法的局部截断误差，通常 ${\displaystyle \sim h^{p+1}}$，称为有 $p$ 阶精度. 注意到误差来源于对积分 ${\displaystyle {\int }_{t_n}^{t_{n+1}}f(\tau ,x(\tau ))d\tau }$ 的逼近，逼近用到的节点越多，误差越小，于是有了四阶 Runge-Kutta 方法，一般的 $q$ 级显式 Runge-Kutta 方法为：

$$\begin{array}{rl}& x_{n+1}=x_n+h\sum _{i=1}^q{w}_i{K}_i\\ & K_1=f(t_n,x_n)\\ & K_i=f(t_n+{\lambda }_{i}h,x_n+h\sum _{j=1}^{i-1}{\mu }_j{K}_j)(i=2,3,\cdots ,q).\end{array}$$

NOTE

${\displaystyle q=1}$ 是 Euler 折线法，${\displaystyle q=2}$ 是改进的 Euler 方法。

一般在实际情况中用得多的是四阶 Runge-Kutta 公式：

$$\begin{array}{rl}& K_1=f(t_n,x_n)\\ & K_2=f(t_n+\frac{h}{2},x_n+\frac{h}{2}{K}_1)\\ & K_3=f(t_n+\frac{h}{2},x_n+\frac{h}{2}{K}_2)\\ & K_4=f(t_n+h,x_n+h{K}_3)\\ & x_{n+1}=x_n+\frac{h}{6}(K_1+2K_2+2K_3+K_4)\end{array}$$

它具有四阶精度，公式计算复杂，这里从略。

IMPORTANT

值得注意的是四阶 Runge-Kutta 公式的精度虽然很高, 但它要求初值问题 （5.52）的解具有较好的光滑性，如果（5.52）的解光滑性较差，用四阶 RungeKutta 公式求得的近似解的精度可能反而不如改进的 Euler 方法. 因此我们需要根据具体问题选择适当的方法.