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【代数几何初步】代数集的坐标环_哔哩哔哩_bilibili 如果 ${\displaystyle \mathrm{k}}$ 是代数闭域，则 ${\displaystyle {\mathcal{O}}_V(V)=\mathrm{k}[V]}$，若是一般的域，则写作 ${\displaystyle \mathrm{k}[V]}$，称为 $V$ 的坐标环.

$$\mathrm{k}[V]\cong \mathrm{k}[x_1,\dots ,x_n]/I(V)\text{是有限生成}\mathrm{k}\text{-代数}$$

坐标环是有限生成的 ${\displaystyle \mathrm{k}}$ -代数，坐标环与有限生成 ${\displaystyle \mathrm{k}}$ -代数之间有一一对应。 ${\displaystyle V\subseteq {\mathbb{A}}_k^n,W\subseteq {\mathbb{A}}_k^m}$ 是两个代数集，则有定理：

1. 对任意 ${\displaystyle f:V\to W}$ 多项式映射，诱导了如下环同态 (拉回)：

$$f^{\ast }:\mathrm{k}[W]\to \mathrm{k}[V],u\mapsto u\circ f$$

事实上这也是 ${\displaystyle \mathrm{k}}$ -代数同态。[[k-algebra|k代数的定义]]， [[k-algebra homomorphism]] 2. 对任意 ${\displaystyle \mathrm{k}}$ -代数同态 ${\displaystyle \mathrm{\Phi }:\mathrm{k}[W]\to \mathrm{k}[V]}$，存在唯一多项式映射 ${\displaystyle f:V\to W}$ s.t.${\displaystyle \mathrm{\Phi }=f^{\ast }}$. 3. 给定 ${\displaystyle f:V\to W,g:W\to U}$，有（逆变）

$$(g\circ f{)}^{\ast }=f^{\ast }\circ g^{\ast }$$

推论：多项式映射 ${\displaystyle f:V\to W}$ 是同构当且仅当 ${\displaystyle f^{\ast }:\mathrm{k}[W]\to \mathrm{k}[V]}$ 是同构。

$$\{\text{algebra sets}\}/\text{isomophism}⟷\{\mathrm{k}\text{-algebra}\}/\text{isomophism}$$

若 ${\displaystyle V}$ 是不可约的代数集，则 ${\displaystyle I(V)}$ 是素理想，则 ${\displaystyle \mathrm{k}[V]}$ 是整环。这样就可以考虑分式域 令 ${\displaystyle \mathrm{k}(V)=\text{field of fractions of }\mathrm{k}[V]}$，任何 ${\displaystyle f\in \mathrm{k}[V]}$ 被称为 ${\displaystyle V}$ 上的有理函数 (rational function)。 由于 ${\displaystyle f}$ 不是处处定义的，我们令 ${\displaystyle \mathrm{dom}f=\{p\in V:\mathrm{\exists }\text{expression }f=g/h,g,h\in \mathrm{k}[V],h(p)\ne 0\}}$，是 $V$ 的开稠密子集。

$$\begin{array}{r}f:\mathrm{dom}f\to \mathrm{k}\\ g/h\mapsto g(p)/h(p)\end{array}$$

简单验证良定义。