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【代数几何初步】单位分解_哔哩哔哩_bilibili 对于 ${\displaystyle U\stackrel{open}{\subseteq }V}$，可以定义

$${\mathcal{O}}_V(U):=\{f\in \mathrm{k}(V):U\subseteq \mathrm{dom}f\}$$

称为 the ring of regular functions on $U$.

这个 regular 取自 pde. 表示这个函数有很好的正则性。

对于任何点 ${\displaystyle p\in V}$，可以定义

$${\mathcal{O}}_{V,p}:=\{f\in \mathrm{k}(V):p\in \mathrm{dom}f\}$$

称为 the ring of regular functions at $p$.

${\displaystyle {\mathcal{O}}_{V,p}}$ is a local ring.

代数几何 (交换代数) 要把一个问题局部化，很多时候要验证一个性质是要研究局部的性质。 从现在开始，假设 ${\displaystyle \mathrm{k}}$ 是代数闭域。

• ${\displaystyle {\mathcal{O}}_V(V)=\mathrm{k}[V]}$. 即处处有定义的有理函数就是多项式函数。类似于一个处处有定义的亚纯函数就是全纯函数。

${\displaystyle \supseteq }$ 是显然的，${\displaystyle \subseteq }$ 是不显然的，若 ${\displaystyle f\in \mathrm{k}(V),\text{s.t. }\mathrm{dom}f=V}$. 对于任意 ${\displaystyle p\in V}$，存在表达 ${\displaystyle f=g_p/h_p,g_p,h_p\in \mathrm{k}[V],h_p(p)\ne 0}$。但是这个表达式与 $p$ 有关，我想要与 ${\displaystyle p}$ 无关，这就需要利用代数闭域的性质了。令 ${\displaystyle \mathrm{k}[x_1,\dots ,x_n]}$ 中理想 ${\displaystyle \mathfrak{a}=(h_p{)}_{p\in V}\subseteq \mathrm{k}[V]\cong \mathrm{k}[x_1,\dots ,x_n]/I(V)}$，其包含 ${\displaystyle I(V).}$ 则

$$\mathrm{dom}f=V⟹V(\mathfrak{a})=\varnothing \stackrel{\text{Hilbert零点定理}}{⟹}\mathfrak{a}=\mathrm{k}[x_1,\dots ,x_n]⟹1\in \mathfrak{a}$$

于是存在 ${\displaystyle p_1,\dots ,p_N\in V}$，存在 ${\displaystyle r_1,\dots ,r_N\in \mathrm{k}[V]}$，使得 (因为 ${\displaystyle \mathfrak{a}}$ 是由 ${\displaystyle (h_p{)}_{p\in V}}$ 生成的)

$$1=\sum _{i=1}^N{r}_i{h}_{p_i}\text{作为}V\text{上的函数}$$

(partion of unity) 黎曼几何，微分几何中讲单位分解，常值函数可以分为若干个截断函数的和。

我要用单位分解将局部定义的 ${\displaystyle g_p/h_p}$ 粘成一个整体的函数。

断言：${\displaystyle f=\sum _{i=1}^N{r}_i{g}_{p_i}}$ 作为 $V$ 上的函数. 证明： ${\displaystyle \mathrm{\forall }p\in V}$ 验证

$$f(p)=\sum _{i=1}^N{r}_i(p)g_{p_i}(p)$$

对于给定的 ${\displaystyle p}$, 存在 ${\displaystyle p_j}$, 使得 ${\displaystyle h_{p_j}(p)\ne 0}$. 对于 $i$，由于 $f$ 在 $p$ 附近良定义，故存在 $j$ ，使得

$$f=\frac{g_{p_i}}{h_{p_i}}=\frac{g_{p_j}}{h_{p_j}},h_{p_j}(p)\ne 0$$

这等价于

$$g_{p_i}(p)h_{p_j}(p)=g_{p_j}(p)h_{p_i}(p),\mathrm{\forall }p\in V$$

于是我们就有

$$\begin{array}{rl}\sum _{i=1}^N{r}_i(p)g_{p_i}(p)& =\sum _{i=1}^N\frac{r_i(p)g_{p_i}(p)h_{p_j}(p)}{h_{p_j}(p)}=\sum _{i=1}^N\frac{r_i(p)g_{p_j}(p)h_{p_i}(p)}{h_{p_j}(p)}\\ & =\frac{g_{p_j}(p)}{h_{p_j}(p)}\sum _{i=1}^N{r}_i(p)h_{p_i}(p)=\frac{g_{p_j}(p)}{h_{p_j}(p)}\cdot 1=f(p)\end{array}$$

这就是数学分析。

代数几何中使用概形可以避免使用代数闭域的条件，但是我们对于集合的要求更多了，语言也更抽象了。

对于 ${\displaystyle h\in \mathrm{k}[V]}$，定义

$$V_h:=\{p\in V:h(p)\ne 0\}$$

这是 ${\displaystyle V}$ 中的开稠密子集。我们还有

$${\mathcal{O}}_V(V_h)=\mathrm{k}[V][h^{-1}]$$

被称为 ${\displaystyle \mathrm{k}[V]}$ 在 $h$ 处的局部化。

• ${\displaystyle \{V_h{\}}_{h\in \mathrm{k}[V]}}$ 是 ${\displaystyle V}$ 的拓扑基 (在 Zariski 拓扑意义下)
• ${\displaystyle \mathrm{\forall }U\stackrel{open}{\subseteq }V}$ 等于 ${\displaystyle V_h}$ 的有限并
• ${\displaystyle V_h}$ 同构于一个仿射代数簇