✍内容

【代数几何初步】丢番图方程_哔哩哔哩_bilibili 古典代数几何主要来自于对整系数/有理系数多项式的整数/有理数解的讨论，这些看似简单的问题实际上并不平凡。 研究一个几何体，等价于研究其上的所有函数。 【代数几何初步】Stone-Weierstrass定理_哔哩哔哩_bilibili 而这些方程的有理解问题，也可以转化为某条曲线上的有理点问题。 比如，是否存在面积为 ${\displaystyle n\in \mathbb{Z}}$ 的有理直角三角形，等价于曲线 ${\displaystyle y^2=x^3-n^{2}x}$ 上是否存在有理点。 对于 Stone-Weierstrass 定理，有一个拓扑空间的版本，还有一个理想的版本 (因为 ${\displaystyle C(X)}$ 是一个代数)。后者弱于前者，但是代数几何主要使用这个理想的版本。 代数与几何之间存在一个一一对应，在 Stone-Weierstrass 定理中

$$\begin{array}{rl}\{\text{closed set in }X\}& ⟷\{\text{closed ideal in }C(X)\}\\ \mathrm{\Sigma }\text{ closed in }X& ⟼I_{\mathrm{\Sigma }}=\{f\in C(X):{f|}_{\mathrm{\Sigma }}=0\}\\ \{x\in X:f(x)=0,\mathrm{\forall }f\in A\}& \underset{\text{mapsto}}{⟵}A\end{array}$$

【代数几何初步】Zorn引理与诺特环_哔哩哔哩_bilibili 类似于考虑有限维线性空间的便捷性，我们考虑环 ${\displaystyle A}$ 中有限生成的理想，如下是等价的

• 任何 ${\displaystyle A}$ 中理想 ${\displaystyle I}$ 都是有限生成
• 所有理想升链都会终止
• 所有非空理想集合都有最大元

满足以上条件的环被称为诺特环。 【代数几何初步】希尔伯特基定理与代数集_哔哩哔哩_bilibili 希尔伯特基定理：若 ${\displaystyle A}$ 是诺特环，则 ${\displaystyle A[x]}$ 也是诺特环。（反证，利用诺特性质） 推论： ${\displaystyle \mathrm{k}[x_1,\dots ,x_n]}$ 也是诺特环。 推论：任何有限生成的 $k$ -代数也是诺特环 ($k$ 是域)。 ${\displaystyle \mathrm{k}[x_1,\dots ,x_n]}$ 中生成元的关系可以由一个理想 ${\displaystyle I}$ 表示，满足关系即记作 ${\displaystyle \mathrm{k}[x_1,\dots ,x_n]/I}$. 称仿射空间 ${\displaystyle {\mathbb{A}}_{\mathrm{k}}^n}$ (不带基点的 ${\displaystyle {\mathrm{k}}^n}$) 的子集 $X$ 是代数集，若存在理想 ${\displaystyle I\subseteq \mathrm{k}[x_1,\dots ,x_n]}$，使得 ${\displaystyle X=V(I):=\{x\in {\mathbb{A}}_k^n:f(x)=0,\mathrm{\forall }f\in I\}}$. 即所有 ${\displaystyle I}$ 内函数消失的点集. 将代数集定义为 ${\displaystyle {\mathbb{A}}_k^n}$ 中的闭集，即可获得 Zariski 拓扑。

代数里面只考虑有限项求和。

Zariski 拓扑中开集非常大。${\displaystyle {\mathbb{A}}_{\mathbb{R}}^1}$ 的任意真闭子集都是有限点集。 【代数几何初步】诺特空间_哔哩哔哩_bilibili 称拓扑空间 $X$ 为诺特空间，若 $X$ 满足闭子集降链终止。装备 Zariski 拓扑的 ${\displaystyle {\mathbb{A}}_{\mathrm{k}}^n}$ 是诺特空间。利用如下性质验证：

若闭集 ${\displaystyle X\subseteq Y}$，则理想 ${\displaystyle I(X)\supseteq I(Y)}$. 若闭集 ${\displaystyle X\subset Y}$，则理想 ${\displaystyle I(X)\supset I(Y)}$. ${\displaystyle I(X)}$ 表示在 $X$ 上取 0 的 ${\displaystyle I}$ 中多项式。

引理：$X$ 为代数集，则 ${\displaystyle V(I(X))=X}$.

• $X$ 为诺特空间，则 $X$ 是紧的。
• ${\displaystyle {\mathbb{A}}_{\mathrm{k}}^n}$ 是紧的。
• $X$ 是诺特空间，当且仅当 $X$ 的任意子空间都是紧的。(按定义证)

原因在于闭链终止条件是很强的条件。

【代数几何初步】不可约性与素理想_哔哩哔哩_bilibili 称诺特空间 $X$ 中子集 ${\displaystyle A}$ 不可约，若 $A$ 不可以写成两个闭集的并。诺特空间都可以唯一写成一堆不可约子空间的并。${\displaystyle X=X_1\cup \cdots \cup X_n}$，被称为 $X$ 的不可约分支。 判别：代数集 ${\displaystyle X\subseteq {\mathbb{A}}_{\mathrm{k}}^n}$ 是不可约的，当且仅当 ${\displaystyle I(X)}$ 是素理想，当且仅当 ${\displaystyle \mathrm{k}[x_1,\dots ,x_n]/I(X)}$ 是整环。证明考虑反证。 考虑 ${\displaystyle {\mathbb{A}}_{\mathrm{k}}^2}$，${\displaystyle I=(xy-1)}$. ${\displaystyle C:=V(I)}$ 为图像 ${\displaystyle y=1/x}$. 在 Zariski 拓扑意义下是否不可约？

若 ${\displaystyle X=V(I)}$，则 ${\displaystyle I\subset I(X)=I(V(I))}$ 可能发生。 例如，${\displaystyle {\mathbb{A}}_{\mathrm{k}}^2}$ 中 ${\displaystyle I=(x^2+y^2)}$，则 ${\displaystyle V(I)=\{(0,0)\}}$，${\displaystyle I(V(I))=(x,y)\ne (x^2+y^2)}$. ${\displaystyle I(V(I))}$ 是所有在 ${\displaystyle (0,0)}$ 消失的多项式函数。

若取 ${\displaystyle I=((x^2+y^2{)}^2)}$ 非素理想，但 ${\displaystyle I(V(I))=(x,y)}$ 是素理想。

Krull 维数： $X$ 为诺特空间

$${\displaystyle \dim X:=sup\{d>0:\mathrm{\exists }\text{闭链}\varnothing \ne X_0\subset X_1\subset \cdots \subset X_d,X_i\text{不可约}\}}$$

诺特空间中的拓扑很怪异，比如 ${\displaystyle [0,1]}$ 可以是无穷维的诺特空间。

• 若 ${\displaystyle Y\subseteq X}$，则 ${\displaystyle \dim Y\le \dim X}$.
• ${\displaystyle \dim {\mathbb{A}}_{\mathrm{k}}^n=n.}$

NOTE

对于多项式环我们可以建立一套这样的理论来研究，那对于一般的环呢？这就是所谓的概形的观点。 定义 ${\displaystyle \mathrm{Spec}(R)=\{\text{prime ideal in }R\}}$，定义闭集 ${\displaystyle Z(I):=\{p\in \mathrm{Spec}(R):I\subseteq p\}}$，${\displaystyle I}$ 是 $R$ 中理想. 这就诱导了环 $R$ 上的谱的拓扑。

【代数几何初步】希尔伯特零点定理_哔哩哔哩_bilibili Motivation ：对于理想 ${\displaystyle \mathfrak{a}\in \mathrm{k}[x_1,\dots ,x_n]}$，什么时候有 ${\displaystyle I(V(\mathfrak{a}))=\mathfrak{a}}$？ 对于 ${\displaystyle \mathrm{k}[x]}$，${\displaystyle \mathfrak{a}=(x^2)}$，${\displaystyle I(V(\mathfrak{a}))=(x)}$。这是因为 ${\displaystyle \mathrm{k}[x]/\mathfrak{a}}$ is not reduced，即存在幂零元。 为此我们把次方都包括在理想中，于是定义根理想 ^44b4d0

$$\sqrt{\mathfrak{a}}:=\{r\in A:r^n\in \mathfrak{a},\text{for some }n\in {\mathbb{N}}_{\mathbb{>}\mathbb{0}}\}$$

要求 ${\displaystyle \mathfrak{a}}$ 也是根理想并不能保证 ${\displaystyle I(V(\mathfrak{a}))=\mathfrak{a}}$，例如 ${\displaystyle \mathrm{k}=\mathbb{R},n=2,\mathfrak{a}=(x^2+y^2)}$，${\displaystyle V(\mathfrak{a})=\{(0,0)\}}$，但 ${\displaystyle I(V(\mathfrak{a}))=(x,y)}$. 再要求 ${\displaystyle \mathrm{k}}$ 是代数闭域即可。 【代数几何初步】整元素与诺特正规化引理_哔哩哔哩_bilibili 一个交换代数中的引理：${\displaystyle \mathrm{k}}$ 是域，若域 ${\displaystyle A}$ 是有限生成 ${\displaystyle \mathrm{k}}$ -代数，则 ${\displaystyle A}$ 在 ${\displaystyle \mathrm{k}}$ 上代数。即对 ${\displaystyle A}$ 中每个元素 $x$ 都存在 $a_0,a_1,\dots ,a_{n-1}\in \mathrm{k}$ 使得，${\displaystyle x^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_0=0}$. 利用此引理，运用证明希尔伯特零点定理 利用诺特正规化引理，证明上述引理 【代数几何初步】诺特引理的证明_哔哩哔哩_bilibili 对于有限生成 ${\displaystyle \mathrm{k}}$ -代数 ${\displaystyle A}$，若 ${\displaystyle A=\mathrm{k}[a_1,\dots ,a_m]}$，即存在 ${\displaystyle I=\{f\in \mathrm{k}[x_1,\dots ,x_m]:f(a_1,\dots ,a_m)=0\}}$，使 ${\displaystyle A\cong \mathrm{k}[x_1,\dots ,x_m]/I}$。则存在在 ${\displaystyle \mathrm{k}}$ 上代数独立的 ${\displaystyle y_1,\dots ,y_r,r\le m}$，使得 ${\displaystyle A}$ 是有限生成 ${\displaystyle \mathrm{k}[y_1,\dots ,y_r]}$ -模。

对于 ${\displaystyle \mathrm{k}[a_1,\dots ,a_m]}$，取 ${\displaystyle a_j=z_j+a_1^{s^{j-1}}}$，$s$ 充分大。这是证明诺特引理的核心步骤，将一个元素看成其它元素的整元素。

对于代数集 ${\displaystyle V\subseteq {\mathbb{A}}_k^n}$，定义 $V$ 上所有多项式函数构成的环 ${\displaystyle {\mathcal{O}}_V(V):=\{f:V\to \mathrm{k}|\mathrm{\exists }F\in \mathrm{k}[x_1,\dots ,x_n],\text{s.t. }f(p)=F(p),\mathrm{\forall }p\in V\}}$。 事实上，${\displaystyle {\mathcal{O}}_V(V)\cong k[x_1,\dots ,x_n]/I(V)}$，${\displaystyle {\mathcal{O}}_V(V)}$ 是 $V$ 上的 structure sheave. 【代数几何初步】代数集上的函数_哔哩哔哩_bilibili

所谓的 sheave 就是在拓扑空间的每个开集上都指定一个环。

对于代数几何来说，集合上的映射比这个集合重要。代数几何中最重要的映射是由多项式函数诱导的映射。 代数集和多项式函数映射构成一个范畴。 借鉴复分析中从全纯函数到亚纯函数的思想，代数几何考虑从多项式环到有理函数域。 对于不可约代数集 $V$ 和代数闭域 ${\displaystyle \mathrm{k}}$， ${\displaystyle I(V)=\mathfrak{p}}$ 一定是素理想，且 ${\displaystyle {\mathcal{O}}_V(V)\cong \mathrm{k}[x_1,\dots ,x_n]/\mathfrak{p}}$. 用 ${\displaystyle \mathrm{k}(V)}$ 表示 ${\displaystyle {\mathcal{O}}_V(V)}$ 的分式域。

WARNING

${\displaystyle \mathrm{\forall }f\in \mathrm{k}(V)}$, 表达式 ${\displaystyle f=g/h}$ 中 ${\displaystyle g,h\in {\mathcal{O}}_V(V)}$ 不唯一。

对于 ${\displaystyle f\in \mathrm{k}(V)}$，令 ${\displaystyle \text{dom}f:=\{p\in V:f=g/h,\text{其中}g,h\in {\mathcal{O}}_V(V),h(p)\ne 0\}}$. ${\displaystyle \text{dom}f}$ 是装备 Zariski 拓扑的 $V$ 中开集。 $V$ 中不可约代数集中的开集都在 $V$ 中稠密. 令 $V$ 是不可约代数集，${\displaystyle U\subseteq V}$ 是开集，定义 ${\displaystyle {\mathcal{O}}_V(U):=\{f\in \mathrm{k}(V):U\subseteq \text{dom}f\}}$. 对于任何使得 ${\displaystyle U\subseteq \text{dom}f}$ 的 ${\displaystyle f\in \mathrm{k}(V)}$，$f$ 称为 $U$ 上的 regular function. ${\displaystyle {\mathcal{O}}_V(U)}$ 定义为 regular function 的环。而且 ${\displaystyle {\mathcal{O}}_V(V)=\{f\in \mathrm{k}(V):V\subseteq \text{dom}f\}}$ 是良定义的。

将 rational function 类比为亚纯函数，将 regular function 类比为全纯函数。